第一百零五章 魔方矩阵
魔方矩阵，又称幻方，纵横图。 是指由1~N^2共N^2个数排列成的有相同的行数和列数，并在每行每列、对角线上的和都相等的一个N阶矩阵。 在《射雕》中郭黄二人被裘千仞追到黑龙潭，躲进瑛姑的小屋。瑛姑出了一道题：数字1~9填到三行三列的表格中，要求每行、每列、及两条对角线上的和都相等。这道题难倒了瑛姑十几年，被黄蓉一下子就答出来了。 492 357 816 这就是一个最简单的三阶平面魔方矩阵。 而今天老唐出的这道题，是更加高难度的五阶魔方平面矩阵。 运算难度，不知道比三阶魔方矩阵高了多少。 不过，魔方矩阵既然被数学家们定义出来，那自然有一套起独特的运算规律。 根据N的数值，可以分为三种情况。 当N为奇数，当N为4的倍数，当N为其他偶数！ 老唐这道题是求5阶平面魔方，很显然，可以套用N为奇数的运算规律。 程诺在脑海里默默回忆起当N为奇数时平面魔方的填写规律。 “当N为奇数时 ①将1放在第一行中间一列; ②从2开始直到n×n止各数依次按下列规则存放： 按45°方向行走，如向右上 每一个数存放的行比前一个数的行数减1，列数减1 ③如果行列范围超出矩阵范围，则回绕。 例如1在第1行，则2应放在最下一行，列数同样减1; ④如果按上面规则确定的位置上已有数，或上一个数是第1行第n列时， 则把下一个数放在上一个数的下面。”（注①） “所以说，正确的答案应该是……” 程诺在自己的脑海里构建宫格模型。很快，便将25个数字填入其中。 唰唰唰唰~~ 在同学们眼中，只见程诺没有任何的犹豫，拿着粉笔在黑板上笔走龙蛇，粉屑飞扬。中间没有任何停顿，一气呵成！ 举手抬足间，透露着无比强大的自信。 “好了，老师，我填完了。”程诺转身，将粉笔头扔在讲桌上，微笑着对老唐说道。 “好，我看一下，你填的对不对？”老唐抱着一种好奇心，看向黑板上已经被填满的宫格。 15812417 16147523 22201364 321191210 92251811 全部正确！！ 25个数字的位置，和正确答案如出一辙。 每一行，每一列，每一条对角线的和，都是65！~ 老唐惊讶的看了神色如常的程诺一眼。然后在全班同学满含期待的目光下宣布，“程诺同学的答案……是正确的！” 哗~~ 全班同学尽皆哗然。 果然啊，程诺这个家伙，还是一如既往的强悍呀！ 比不过，实在是比不过。 他们和程诺的大脑配置，简直不在一个水平层面上。 学霸，是只配被学渣所仰望的存在！ 老唐望着程诺说道，“既然程诺同学是第一个把这道题目解出来的同学，那么我那份‘特殊’奖励就归程诺同学所有了。程诺，你能不能给大家讲一下你是通过何种方法把这题解出来的？” “没问题。”程诺点头，转身指着那道题道，“其实这道题很简单的。” 这道题……很简单？ 好吧，你是学霸，你说了算。 全班同学翻翻白眼。 程诺耸耸肩，神色如常的继续讲道。“在讲这道题之前，我先要给大家讲一个模型，叫做魔方矩阵！” 为什么程诺能知道魔方矩阵这个东西？ 按理说，高中方面，不会涉及这方面的知识。 但程诺是谁？他可是学霸！ 学霸的一大特征就是，永远不会满足只学习课内那点知识！ 还记得程诺从书店买回的那一大堆关于世界数学难题的书吗？其中一个难题的推理过程中，就用到了这个魔方矩阵。程诺就顺便将它记下来了。 程诺站在讲台上，将魔方矩阵的三种解法都讲了一遍。 “听了这个定理之后，大家是不是觉得这道题简单了许多。首先，第一行中间那个数字肯定是1，数字2的位置……” 讲台下同学们听得头晕目眩，不明觉厉，程诺倒是在讲台上讲的津津有味。 “好了，我想说的就是这些，谢谢大家！”说完，程诺走下讲台。 啪啪啪~~ 全班同学下意识的鼓掌。 老唐同志待程诺走下讲台后，站在讲桌前一脸尴尬。 妹的！把我想要讲的都讲完了，让我讲啥？！ 本来，老唐同志就想利用这个题目引出魔方矩阵，在高考前发散一下学生的思维。 可现在…… 呃……好吧，程诺把魔方矩阵讲的比我还详细，那我这个当老师的还是不献丑了吧。 “好了。同学们，我们拿出上周发的那套衡水真题，我们讲一下那套试卷。”老唐尴尬的咳嗽了一下，也不问同学们有没有听懂了，急忙转移话题道。 “哇，穆冷，程诺果然厉害呢。这样的题都会！”苏小小的明亮的眼里充满了小星星。 穆冷的嘴角微微上扬，“这才是那个……桀骜的他啊！” ………… “好了，下课。穆冷，程诺，你们两个跟我来一趟办公室。” 伴随着下课铃声，老唐刚好把最后一道题讲完。 程诺和穆冷对视一眼，皆是一头雾水，不知道老唐找自己有什么事，不过还是老老实实的跟着老唐走到办公室。 下楼梯的时候，程诺凑到穆冷身边，语气中略带担忧的小声说道，“冷姐，你说是不是我们两个谈恋爱的事被老唐发现了？” 穆冷淡淡的瞥了程诺一眼，一字一顿的开口：“你-说-呢！” 程诺缩了缩脖子，一脸讪讪，“开玩笑，开玩笑。” “不过，冷姐，我们两个的事你真的不再考虑考虑吗？你看，你是学霸，我也是学霸，学霸配学霸，我们两个可谓是门当户对。生出来的孩子也一定是学霸！”程诺握紧双拳说道。 穆冷抿了抿嘴唇，模棱两可的说道，“高考后，我们在谈论这个问题吧。” “好，我等你。”程诺淡淡一笑。 ……………… 注①：魔方矩阵另外两种情况的算法。（正文字数已达2000字，这不是水字数，这是为了帮助大家学会这道题！！请大家理解作者的良苦用心。） (2)当N为4的倍数时 采用对称元素交换法。 首先把数1到n×n按从上至下，从左到右顺序填入矩阵 然后将方阵的所有4×4子方阵中的两对角线上的数关于大方阵中心作中心对称交换（注意是各各子矩阵对角线上面的数），即a(i，j)与a(n 1-i，n 1-j)交换，所有其它位置上的数不变。(或者将对角线不变，其它位置对称交换也可) (3)当N为其它偶数时 当n为非4倍数的偶数(即4n 2形)时：首先把大方阵分解为4个奇数(2m 1阶)子方阵。 按上述奇数阶魔方给分解的4个子方阵对应赋值 上左子阵最小(i)，下右子阵次小(i v)，下左子阵最大(i 3v)，上右子阵次大(i 2v) 即4个子方阵对应元素相差v，其中v=n*n/4 四个子矩阵由小到大排列方式为①③④② 然后作相应的元素交换：a(i，j)与a(i u，j)在同一列做对应交换(j<t-1或j>n-t 1)， 注意其中j可以去零。 a(t-1，0)与a(t u-1，0)；a(t-1，t-1)与a(t u-1，t-1)两对元素交换 其中u=n/2，t=(n 2)/4上述交换使每行每列与两对角线上元素之和相等。 ………… PS：解题步骤我已经详细到这种程度了。如果你们再不会……我也没办法了。